Wie das definitv mit online/offline jetzt zB bezüglich Chat aussieht kann ich dir nicht sagen (das ist ja soweit ich weiß der einzige Fall wo andere deinen Onlinestatus sehen). Ich verwende überhaupt kaum die PC-Version, da wir überwiegend mit Handy und Tablet im Netz sind.
Den Chat selbst in der App verwende ich auch nicht, da der zu buggy ist, ich habe mein Facebookkonto in Trillian integriert, und nutze dort den Chat, da bin ich immer online wenn Trillian an ist, und das läuft bei mir so gut wie 24/7.
Du kannst dich ja über das Menü ausloggen, dann bist du auch definitv ausgeloggt, bekommst keine Benachrichtigungen über neue Nachrichten, Anfragen,...
Parallel online sein ist kein Problem, da bei mir die FB App ja eigentlich auch immer im Hintergrund läuft, und ich auch manchmal am PC online bin oder am Tab weiß ich das es da keine Problem gibt.
Wenn du auf Nummer sicher gehn willst das du draussen bist, dann meld dich am besten übers Menü ab, und erzwinge danach noch das Stoppen der app über das Anwendungsmenü in den Einstellungen oder mit einem Taskmanager....
lg