Auch ich installiere bevorzugt von F-Droid, allerdings müssen für Apps, die dort hineinwollen, der Zugriff auf den Quellcode verfügbar sein und F-Droid kompiliert diesen und erstellt die APK daraus. Deshalb wird soetwas wie Brother iPrint&Scan wohl nie dort zu finden sein.
Bei F-Droid findet sich aber Yalp und dessen Fork Aurora. Damit lassen sich Apps aus dem Play Store laden, ohne dass man ein Google-Konto benötigt. Damit ist man auf kostenlose Apps beschränkt. Brother iPrint&Scan ist kostenlos, also kann man das laden.
Man kann in Yalp und Aurora auch ein eigenes Google-Konto eintragen und dann auch kostenpflichtige Apps laden. DIe muss man aber zuvor über die Website kaufen. Direkt in diesen Apps kann keine Apps kaufen.
Kauf-Apps können eine Lizenzprüfung beinhalten. Die funktioniert nur mit installierten und aktivierten Pay-Diensten und dem Google Play Store. Der Kauf solcher Apps über den beschriebenen Weg würde zwar funktionieren, wäre aber ein Fehlkauf, weil die App den Start verweigern würde.
Bleibt am Ende noch die Frage, wieweit man Brother iPrint&Scan vertrauen kann. Die App enthält keine Analyse-Tracker und keine Analyse-Module. Deshalb kannst Du die App installieren. Dennoch solltest Du ihren Netzwerkverkehr überwachen. Das habe ich nicht gemacht.